3. 设 $A,B\in M_n$, $A$ 正定, $B$ 半正定且对角元素都是正数, 则 $A\circ B$ 正定.

 

 

证明: 由 Schur 定理, $A\circ B$ 半正定, 而其特征值 $\geq 0$. 为证 $A\circ B$ 正定, 仅须证明 $\det(A\circ B)>0$ ($\ra$ 任一特征值 $>0$). 而这可直接由 Oppenheim 不等式 $$\bex \det(A\circ B)\geq \det A\cdot \prod_{i=1}^n b_{ii} \eex$$ 得到.